Kategorier
Videnskab

matematik-hele-kuglen-rundt

Grigori Perelman lser 1 af verdens 7 matematiske mysterier!

Poincar Formodningen
En sfre, eller kugleoverflade, er mngden af punkter der har samme afstand fra centrum. I tre dimensioner har den todimensionale sfre den pne egenskab, at en elastik kan formindskes til et punkt uden at hverken kugleoverfladen eller elastikken skal brydes. Dette er ikke tilfldet med en elastik viklet om en torus (badering). Man siger at kuglen er simpelt forbundet og torussen ikke er, eller at de har forskellig topologi. Poincar spurgte i 1904 om sfren i fire dimensioner var liges pn (simpelt forbundet) som sfren i tre dimensioner?

Reference: 7 matematiske mysterier cozmo.dk

Geni lser 102 r gammel matematisk gde Politiken 16. august 2006
Elusive Proof, Elusive Prover: A New Mathematical Mystery New York Times 15. august 2006

Baggrund:
Poincar Conjecture Proved–This Time for Real mathworld.wolfram.com 15. april 2003
Clay Mathmatics Institute Poincare Conjecture www.claymath.org

Opflgning:
Russisk matematik-geni ngter at modtage pris Politiken 23. august 2006

Af Thomas Dyhr

Thomas Dyhr - cand.jur. fra Københavns Universitet 2003 Filosof af natur.. Interesser: politik, skak, qigong, nei kung, tai chi, yi chuan, xin yi, daitoryu aikijujutsu, da chen chuan, litteratur, poesi

6 kommentarer til “matematik-hele-kuglen-rundt”

Dette er ikke en korrekt beskrivelse af Poincaré formodningen. 3-sfæren har trivielt denne egenskab. Formodningen er at det er den *eneste* lukkede 3-manifold med denne egenskab.

I er squ meget sjove begge to; Tilsyneladende er der ingen af jer der har haft topologi på et tilstrækkeligt niveau til at forstå Poincaré formodningen; I kunne jo starte med at tage kurset “Kurver og flader” på matematisk institut så ved I det mindst hvad det er I snakker om;
Anyway, hvis man kender lidt til de grundlæggende topologiske begreber så er Poincaré formodningen ganske let at forstå – omend Grigori Perelman’s bevis herfor nok kun kan forstås af matematiske eksperter herunder naturligvis af vores Hans fra DTU.
Lad os nu betragte en torus og en kugle; De er begge lukkede to dimensioneller flader. Laver vi en vilkårlig cirkel på en vilkårlig kugle, kan vi formindske – dvs indskrænke – cirklen således, at den i grænsen går i mod et punkt. Denne egenskab kan vi fremover kalde for indskrænknings egenskaben. På en torus vil der derimod eksisterer en cirkel som ikke kan indskrænkes til et punkt – det gælder for alle cirkler rundt om “ringen” af torus. Poincaré viste at hvis en to-dimensionel flade har indskrænknings egenskaben, så er fladen topologisk ækvivalent med kuglen. Spørgsmålet er nu om Poincarés teori kan generaliseres til større dimensioner. Er det muligt for en 3 dimensionel mangfoldighed at have indskrænknings egenskaben uden at være topologisk ækvivalent til 3-kuglen ?. Poincaré håbede på at det hurtigt kunne vises at samme egenskab var gyldigt i den fjerde dimension (omtales hyperkuglen: 3-kuglen), den såkaldte Poincaré formodning, se f.eks følgende link fra Wikipedia :

“In mathematics, the Poincaré conjecture is a conjecture about the characterization of the three-dimensional sphere amongst three-dimensional manifolds. Loosely speaking, the conjecture surmises that if a closed three-dimensional manifold is sufficiently like a sphere in that each loop in the manifold can be tightened to a point, then it is really just a three-dimensional sphere. The analogous result has been known to be true in higher dimensions for some time. http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_conjecture

Dette har dog ikke været muligt at bevise før Grigori Perelman kom på banen med sit bevis, mens at egenskaben var gyldig for kuglen for dimensionerne fem og op efter var trivielt nok at vise for den matematiske verden, dvs at hvis en mangfoldighed har indskrænknings egenskaben så er de topologisk ækvivalente til hyperkuglen i den pågældende dimension.

Fuck, hvor er du anstrengene at høre på, Ivo. Kan du ikke prøve at anlægge en lidt mindre irriterende verbal stil, i det mindste hvis vi diskuterer matematik?

I øvrigt står jeg ved mit indlæg, og det er dig der blander tingene sammen, eller også bruger du en sjov oversættelse mellem den engelske og den danske terminologi. Hvor du siger “kugle” tror jeg andre ville sige “kugleoverflade” eller “sfære”.

Jeg bruger: “kugle” = “ball”, “sfære” = “sphere”. Med denne terminologi er en 3-kugle det der ligger inden i en 2-sfære, hvilket er let nok at forstå i 3 dimensioner. Og i planen er en 2-kugle det der ligger inden i en 1-sfære (en cirkel). Dette er standard engelsk brug, incl på wikipedia.

Poincaré’s formodning angår 3-sfæren, som er en 3-dimensionel manifold der (kun) kan embeddes naturligt i et 4-dimensionelt rum. Formodningen er at det er den eneste lukkede 3-manifold med indskrænknings egenskaben (‘op til’ homeomorfi). Som jeg startede med at sige….. Suk.

Hans, hvad mener du med “Formodningen er at det er den *eneste* lukkede 3-manifold med denne egenskab” ? Ved du overhovedet hvad en mangfoldighed er ? og i så fald hvad det vil sige, at en mangfoldighed er lukket ? og betydnigen af dens dimension ? Hvis ikke så vil jeg meget gerne give dig en introduktion i de topologiske grundbegreber så du rent faktisk kan forstå Poincaré formodningen.

Selv om mit indlæg 11:05 blev submit’et senere end Hans’s indlæg 10:27 er det faktisk først nu jeg har læst dit seneste indlæg. Derfor kommer der nok en kommentar senere når jeg får tid….

Nu kan vi jo alle læse wikipedia, men jeg er sikker på at Rabarber’s læsere vil værdsætte din forklaring af de topologiske grundbegreber, inkl hvad det vil sige at en manifold er lukket. Op på podiet, Ivo! Vi lytter…

Skriv et svar

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.