Grigori Perelman løser 1 af verdens 7 matematiske mysterier!
Poincaré Formodningen
En sfære, eller kugleoverflade, er mængden af punkter der har samme afstand fra centrum. I tre dimensioner har den todimensionale sfære den pæne egenskab, at en elastik kan formindskes til et punkt uden at hverken kugleoverfladen eller elastikken skal brydes. Dette er ikke tilfældet med en elastik viklet om en torus (badering). Man siger at kuglen er simpelt forbundet og torussen ikke er, eller at de har forskellig topologi. Poincaré spurgte i 1904 om sfæren i fire dimensioner var ligeså pæn (simpelt forbundet) som sfæren i tre dimensioner?
Reference: 7 matematiske mysterier cozmo.dk
Geni løser 102 år gammel matematisk gåde Politiken 16. august 2006
Elusive Proof, Elusive Prover: A New Mathematical Mystery New York Times 15. august 2006
Baggrund:
Poincaré Conjecture Proved–This Time for Real mathworld.wolfram.com 15. april 2003
Clay Mathmatics Institute Poincare Conjecture www.claymath.org
Opfølgning:
Russisk matematik-geni nægter at modtage pris Politiken 23. august 2006
6 kommentarer til “matematik-hele-kuglen-rundt”
Dette er ikke en korrekt beskrivelse af Poincaré formodningen. 3-sfæren har trivielt denne egenskab. Formodningen er at det er den *eneste* lukkede 3-manifold med denne egenskab.
I er squ meget sjove begge to; Tilsyneladende er der ingen af jer der har haft topologi pÃ¥ et tilstrækkeligt niveau til at forstÃ¥ Poincaré formodningen; I kunne jo starte med at tage kurset “Kurver og flader” pÃ¥ matematisk institut sÃ¥ ved I det mindst hvad det er I snakker om;
Anyway, hvis man kender lidt til de grundlæggende topologiske begreber sÃ¥ er Poincaré formodningen ganske let at forstÃ¥ – omend Grigori Perelman’s bevis herfor nok kun kan forstÃ¥s af matematiske eksperter herunder naturligvis af vores Hans fra DTU.
Lad os nu betragte en torus og en kugle; De er begge lukkede to dimensioneller flader. Laver vi en vilkÃ¥rlig cirkel pÃ¥ en vilkÃ¥rlig kugle, kan vi formindske – dvs indskrænke – cirklen sÃ¥ledes, at den i grænsen gÃ¥r i mod et punkt. Denne egenskab kan vi fremover kalde for indskrænknings egenskaben. PÃ¥ en torus vil der derimod eksisterer en cirkel som ikke kan indskrænkes til et punkt – det gælder for alle cirkler rundt om “ringen” af torus. Poincaré viste at hvis en to-dimensionel flade har indskrænknings egenskaben, sÃ¥ er fladen topologisk ækvivalent med kuglen. SpørgsmÃ¥let er nu om Poincarés teori kan generaliseres til større dimensioner. Er det muligt for en 3 dimensionel mangfoldighed at have indskrænknings egenskaben uden at være topologisk ækvivalent til 3-kuglen ?. Poincaré hÃ¥bede pÃ¥ at det hurtigt kunne vises at samme egenskab var gyldigt i den fjerde dimension (omtales hyperkuglen: 3-kuglen), den sÃ¥kaldte Poincaré formodning, se f.eks følgende link fra Wikipedia :
“In mathematics, the Poincaré conjecture is a conjecture about the characterization of the three-dimensional sphere amongst three-dimensional manifolds. Loosely speaking, the conjecture surmises that if a closed three-dimensional manifold is sufficiently like a sphere in that each loop in the manifold can be tightened to a point, then it is really just a three-dimensional sphere. The analogous result has been known to be true in higher dimensions for some time. http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_conjecture ”
Dette har dog ikke været muligt at bevise før Grigori Perelman kom på banen med sit bevis, mens at egenskaben var gyldig for kuglen for dimensionerne fem og op efter var trivielt nok at vise for den matematiske verden, dvs at hvis en mangfoldighed har indskrænknings egenskaben så er de topologisk ækvivalente til hyperkuglen i den pågældende dimension.
Fuck, hvor er du anstrengene at høre på, Ivo. Kan du ikke prøve at anlægge en lidt mindre irriterende verbal stil, i det mindste hvis vi diskuterer matematik?
I øvrigt stÃ¥r jeg ved mit indlæg, og det er dig der blander tingene sammen, eller ogsÃ¥ bruger du en sjov oversættelse mellem den engelske og den danske terminologi. Hvor du siger “kugle” tror jeg andre ville sige “kugleoverflade” eller “sfære”.
Jeg bruger: “kugle” = “ball”, “sfære” = “sphere”. Med denne terminologi er en 3-kugle det der ligger inden i en 2-sfære, hvilket er let nok at forstÃ¥ i 3 dimensioner. Og i planen er en 2-kugle det der ligger inden i en 1-sfære (en cirkel). Dette er standard engelsk brug, incl pÃ¥ wikipedia.
Poincaré’s formodning angÃ¥r 3-sfæren, som er en 3-dimensionel manifold der (kun) kan embeddes naturligt i et 4-dimensionelt rum. Formodningen er at det er den eneste lukkede 3-manifold med indskrænknings egenskaben (‘op til’ homeomorfi). Som jeg startede med at sige….. Suk.
Hans, hvad mener du med “Formodningen er at det er den *eneste* lukkede 3-manifold med denne egenskab” ? Ved du overhovedet hvad en mangfoldighed er ? og i sÃ¥ fald hvad det vil sige, at en mangfoldighed er lukket ? og betydnigen af dens dimension ? Hvis ikke sÃ¥ vil jeg meget gerne give dig en introduktion i de topologiske grundbegreber sÃ¥ du rent faktisk kan forstÃ¥ Poincaré formodningen.
Selv om mit indlæg 11:05 blev submit’et senere end Hans’s indlæg 10:27 er det faktisk først nu jeg har læst dit seneste indlæg. Derfor kommer der nok en kommentar senere nÃ¥r jeg fÃ¥r tid….
Nu kan vi jo alle læse wikipedia, men jeg er sikker pÃ¥ at Rabarber’s læsere vil værdsætte din forklaring af de topologiske grundbegreber, inkl hvad det vil sige at en manifold er lukket. Op pÃ¥ podiet, Ivo! Vi lytter…